$m_0$ द्रव्यमान का एक आवेशित कण $q_0$,$t = 0$ पर मूल बिंदु से $y-$अक्ष के अनुदिश $v_0$ वेग के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। यदि $x-$अक्ष के अनुदिश एक समान विद्युत क्षेत्र $E_0$ भी मौजूद है,तो वह समय जिस पर कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है,वह है:

एक कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। यदि इसके वेग और ऊर्जा दोनों को दोगुना कर दिया जाए,तो नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्या होगी?

$1 \text{ Å}$ की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए एक इलेक्ट्रॉन को त्वरित करने हेतु आवश्यक विभवांतर $V$ है ($\text{ V}$ में)

वेग के साथ द्रव्यमान में परिवर्तन की उपेक्षा करते हुए,$E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन से जुड़ी तरंगदैर्ध्य किसके समानुपाती होती है?

जब एक प्रोटॉन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है, तो इससे जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ होती है। यदि एक $\alpha$-कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य भी $\lambda$ ही रखनी हो, तो उसे किस विभवांतर से त्वरित किया जाना चाहिए?

जब कोई कण $x$-अक्ष पर $x=0$ और $x=a$ के बीच गति करने के लिए प्रतिबंधित होता है,जहाँ $a$ नैनोमीटर आयाम का है,तो उसकी ऊर्जा केवल कुछ विशिष्ट मान ही ले सकती है। ऐसे प्रतिबंधित क्षेत्र में गति करने वाले कण की अनुमत ऊर्जाएँ इसके सिरों $x=0$ और $x=a$ पर नोड्स (nodes) वाले स्थिर तरंगों के निर्माण के अनुरूप होती हैं। इस स्थिर तरंग की तरंगदैर्ध्य डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार कण के रैखिक संवेग $p$ से संबंधित है। $m$ द्रव्यमान वाले कण की ऊर्जा उसके रैखिक संवेग से $E = \frac{p^2}{2m}$ के रूप में संबंधित है। इस प्रकार,कण की ऊर्जा को एक क्वांटम संख्या $n$ द्वारा दर्शाया जा सकता है जो $1, 2, 3, \ldots$ मान लेती है ($n=1$,जिसे ग्राउंड स्टेट कहा जाता है) जो स्थिर तरंग में लूप्स की संख्या के अनुरूप है।
ऊपर वर्णित मॉडल का उपयोग करके $x=0$ से $x=a$ रेखा में गति करने वाले कण के लिए निम्नलिखित तीन प्रश्नों के उत्तर दें। $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ लें।
$1.$ $n$ के किसी विशेष मान के लिए कण की अनुमत ऊर्जा किसके समानुपाती है?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ यदि कण का द्रव्यमान $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ और $a = 6.6 \ \text{nm}$ है,तो ग्राउंड स्टेट में कण की ऊर्जा किसके सबसे करीब है?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ कण की गति,जो अलग-अलग मान ले सकती है,किसके समानुपाती है?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$